รวมสูตรพื้นที่สำหรับรูปทรงเลขาคณิตต่าง ๆ

ทีมงานสรุปเตรียมเปิดคลังสูตรเรขาคณิต ฉบับเข้าใจง่าย

ในโลกของคณิตศาสตร์ เรขาคณิตถือเป็นหนึ่งในแขนงที่มีความสำคัญสูงสุด ด้วยความสามารถในการเชื่อมโยงระหว่างรูปทรง เส้น ขนาด และพื้นที่ ซึ่งไม่เพียงแต่เกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวัน แต่ยังเป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ วิศวกรรม สถาปัตยกรรม และเทคโนโลยีสมัยใหม่ โดยเฉพาะเรื่องของ “พื้นที่” (Area) ซึ่งเป็นตัวชี้วัดเชิงปริมาณว่ารูปทรงใดครอบคลุมเนื้อที่มากน้อยเพียงใด

บทความนี้จึงขอพาทุกท่านย้อนกลับสู่รากฐานของเรขาคณิต ด้วยการรวบรวมสูตรหาพื้นที่ของรูปทรงพื้นฐานต่าง ๆ ตั้งแต่รูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ไปจนถึงรูปหลายเหลี่ยมซับซ้อนอย่างห้าเหลี่ยมถึงแปดเหลี่ยม พร้อมคำอธิบายที่เข้าใจง่าย และมองเห็นภาพอย่างเป็นระบบ

สามเหลี่ยม (Triangle)

สูตรพื้นที่: 1/2 x ฐาน x สูง (เศษหนึ่งส่วนสอง คูณฐาน คูณสูง)

คำอธิบาย:พื้นที่ของสามเหลี่ยมมาจากการพิจารณาว่า สามเหลี่ยมคือครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งถูกตัดแนวทแยงมุม เมื่อเราใช้ความสูงที่ตั้งฉากกับฐาน มันจึงเป็นการคำนวณเนื้อที่ครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมพอดี

ตัวอย่าง: สามเหลี่ยมมีฐาน 10 ซม. สูง 5 ซม.

คำนวนพื้นที่ 1/2 x 10 x 5 = 25 ตารางเซนติเมตร

สี่เหลี่ยม (Regangle)

เมื่อกล่าวถึง “สี่เหลี่ยม” หลายคนอาจนึกถึงเพียง “จัตุรัส” หรือ “สี่เหลี่ยมผืนผ้า” เท่านั้น แต่ในทางคณิตศาสตร์ รูปทรงที่มี 4 ด้านมีมากกว่านั้น และแต่ละรูปก็มีลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันออกไป ทั้งในแง่มุมของความยาวด้าน มุมภายใน หรือแม้แต่แนวของเส้นทแยงมุม

สี่เหลี่ยมทั้งหมดจัดอยู่ในกลุ่มเดียวกันคือ "ควอดริลาทเทอรัล (Quadrilateral)" หรือรูปทรง 4 ด้าน แต่จะแตกแขนงออกเป็นชนิดย่อย ๆ เช่น

• สี่เหลี่ยมจัตุรัส (ทุกด้านและมุมเท่ากัน)

• สี่เหลี่ยมผืนผ้า (ด้านตรงข้ามเท่ากัน มุมฉาก)

• สี่เหลี่ยมด้านขนาน (คู่ด้านตรงข้ามขนานกัน)

• สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (ทุกด้านยาวเท่ากัน เส้นทแยงมุมตัดกันตั้งฉาก)

• สี่เหลี่ยมรูปว่าว (มีด้านติดกันสองคู่เท่ากัน เส้นทแยงมุมตัดฉาก)

เนื่องจาก โครงสร้างภายในที่ไม่เหมือนกัน การหาพื้นที่ของแต่ละรูปจึงไม่สามารถใช้สูตรเดียวกันได้ทั้งหมด ผู้เรียนจึงต้องเข้าใจลักษณะของรูปทรงก่อนจึงจะเลือกใช้สูตรได้อย่างถูกต้อง

• สี่เหลี่ยมจัตุรัส (Square)

สูตรพื้นที่:พื้นที่=ด้าน×ด้าน=ด้าน2\text{พื้นที่} = ด้าน \times ด้าน = ด้าน^2พื้นที่=ด้าน×ด้าน=ด้าน2

คำอธิบาย:สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีทุกด้านยาวเท่ากัน และมุมภายในทุกมุมคือ 90 องศา การหาพื้นที่จึงง่ายที่สุดในบรรดารูปเรขาคณิต เพราะเป็นเพียงการคูณด้านเข้าด้วยกัน

• สี่เหลี่ยมผืนผ้า (Rectangle)

สูตรพื้นที่:พื้นที่=กว้าง×ยาว\text{พื้นที่} = กว้าง \times ยาวพื้นที่=กว้าง×ยาว

คำอธิบาย:แม้จะมีลักษณะคล้ายจัตุรัส แต่สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีความยาวและความกว้างต่างกัน ทำให้เราต้องคำนึงถึงมิติทั้งสองในการคำนวณ

• สี่เหลี่ยมด้านขนาน (Parallelogram)

สูตรพื้นที่:พื้นที่=ฐาน×สูง\text{พื้นที่} = ฐาน \times สูงพื้นที่=ฐาน×สูง

คำอธิบาย:แม้ว่ารูปนี้จะดูเหมือนเอียง แต่การหาพื้นที่ใช้หลักการเดียวกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยเน้นความสูงที่ตั้งฉากกับฐาน

• สี่เหลี่ยมคางหมู (Trapezoid)

สูตรพื้นที่:พื้นที่=12×(ฐานบน+ฐานล่าง)×สูง\text{พื้นที่} = \frac{1}{2} \times (ฐานบน + ฐานล่าง) \times สูงพื้นที่=21​×(ฐานบน+ฐานล่าง)×สูง

คำอธิบาย:พื้นที่ของรูปนี้คิดจากการหาค่าเฉลี่ยของฐานทั้งสองก่อน แล้วคูณกับความสูงที่ตั้งฉากกับฐาน จึงได้ค่าพื้นที่ที่ครอบคลุมทั้งหมด

• สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (Rhombus)

สูตรพื้นที่:พื้นที่=12×เส้นทแยงมุมยาว×เส้นทแยงมุมสั้น\text{พื้นที่} = \frac{1}{2} \times เส้นทแยงมุมยาว \times เส้นทแยงมุมสั้นพื้นที่=21​×เส้นทแยงมุมยาว×เส้นทแยงมุมสั้น

คำอธิบาย:แม้ว่าสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะมีลักษณะเหมือนสี่เหลี่ยมด้านขนาน แต่จุดเด่นคือ “ทุกด้านเท่ากัน” และเส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกันเป็นมุมฉาก และแบ่งครึ่งกันพอดีสูตรหาพื้นที่จึงอิงจากการใช้เส้นทแยงมุมทั้งสอง ซึ่งเปรียบเสมือนฐานและสูงของสามเหลี่ยมสองรูปมารวมกัน

ตัวอย่าง:เส้นทแยงมุม 8 ซม. และ 6 ซม.พื้นที่=12×8×6=24 ตร.ซม.\text{พื้นที่} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \,\text{ตร.ซม.}พื้นที่=21​×8×6=24ตร.ซม.

• สี่เหลี่ยมรูปว่าว (Kite)

สูตรพื้นที่:พื้นที่=12×เส้นทแยงมุมยาว×เส้นทแยงมุมสั้น\text{พื้นที่} = \frac{1}{2} \times เส้นทแยงมุมยาว \times เส้นทแยงมุมสั้นพื้นที่=21​×เส้นทแยงมุมยาว×เส้นทแยงมุมสั้น

คำอธิบาย:แม้สูตรจะเหมือนกับสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน แต่รูปว่าวคือรูปที่มีด้านติดกันสองคู่เท่ากัน โดยเส้นทแยงมุมหนึ่งจะเป็นแนวสมมาตรที่ตัดอีกเส้นหนึ่งตั้งฉากรูปว่าวมักพบในชีวิตจริง เช่น ตัวว่าวที่บินบนท้องฟ้า จึงเป็นรูปเรขาคณิตที่แฝงอยู่ในธรรมชาติและของใช้

กลุ่มที่มีสูตรพื้นที่ที่มีการคำนวนแบบซับซ้อนสูง

• วงกลม (Circle)

สูตรพื้นที่:

พื้นที่=πr2

คำอธิบาย:วงกลมเป็นรูปทรงที่เกิดจากจุดทุกจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน โดยที่ r คือ “รัศมี” หรือระยะจากจุดศูนย์กลางไปยังขอบวงกลม และ π\piπ (พาย) คือค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ประมาณ 3.1416

สูตรนี้มาจากการนำแนวคิดของการแบ่งวงกลมออกเป็นเสี้ยวเล็ก ๆ คล้ายพาย และนำมาวางเรียงกันจนได้รูปคล้ายสามเหลี่ยม → พื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้มีฐานเท่ากับ “ครึ่งเส้นรอบวง” และสูงเท่ากับ “รัศมี” จึงกลายเป็นสูตร

12×2πr×r=πr2\frac{1}{2} \times 2\pi r \times r = \pi r^221​×2πr×r=πr2

ตัวอย่าง:วงกลมรัศมี 7 ซม.

พื้นที่=π×72=π×49≈153.94 ตร.ซม.

• ห้าเหลี่ยม (Pentagon)

สูตรพื้นที่ (เมื่อเป็นรูปด้านเท่า):พื้นที่=54×ด้าน2×cot⁡(π5)

สูตรแบบง่าย:พื้นที่=12×เส้นรอบรูป×อะโพเธม

คำอธิบาย:ในกรณีที่เป็นห้าเหลี่ยมด้านเท่า (regular pentagon) การใช้สูตรที่อิงกับ cotangent จะได้ค่าที่แม่นยำ อย่างไรก็ตาม สูตรที่นิยมใช้ในโรงเรียนมักจะใช้เส้นรอบรูปและอะโพเธม (ระยะตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางถึงด้าน)

• หกเหลี่ยม (Hexagon)

สูตรพื้นที่ (หกเหลี่ยมด้านเทา):พื้นที่=332×ด้าน2

คำอธิบาย:เนื่องจากหกเหลี่ยมด้านเท่าสามารถแบ่งเป็น 6 สามเหลี่ยมด้านเท่าได้ การนำพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่ามาคูณ 6 จึงเป็นวิธีการหาพื้นที่ที่ง่ายและตรงประเด็น

• เจ็ดเหลี่ยม (Heptagon)

สูตรพื้นที่ (ด้านเท่า):พื้นที่=74×ด้าน2×cot⁡(π7)

คำอธิบาย:เจ็ดเหลี่ยมเป็นรูปที่ซับซ้อนขึ้น การใช้ cotangent เข้ามาเกี่ยวข้องช่วยให้คำนวณได้แม่นยำมากยิ่งขึ้น และเหมาะกับการนำไปใช้ในงานที่ต้องการความละเอียด เช่น สถาปัตยกรรม

• แปดเหลี่ยม (Octagon)

สูตรพื้นที่ (ด้านเท่า):พื้นที่=2×(1+2)×ด้าน2

คำอธิบาย:แปดเหลี่ยมด้านเท่าสามารถแบ่งได้เป็น 8 สามเหลี่ยมมุมเท่าที่ล้อมรอบศูนย์กลาง จึงมีสูตรเฉพาะของตนเองและเป็นที่นิยมในงานออกแบบเชิงวิศวกรรมและคณิตศาสตร์ระดับสูง

การรู้จักสูตรเรขาคณิตอย่างถ่องแท้ ไม่ได้เป็นเพียงการท่องจำเพื่อสอบ แต่เป็นการวางรากฐานของ “ความคิดเชิงตรรกะ” ที่ช่วยให้เรามองโลกอย่างมีระบบ ทั้งในชีวิตจริง วิชาชีพ หรือแม้กระทั่งงานเชิงสร้างสรรค์ต่าง ๆ การเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่าง “รูปทรง” กับ “พื้นที่” ยังเป็นประตูสู่การพัฒนาในสาขาวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี วิศวกรรมศาสตร์ และศิลปะอย่างมีเหตุผล หากคุณคือครู นักเรียน หรือคนที่หลงใหลในตัวเลขและเส้นสายแห่งเรขาคณิต บทความนี้คือพิมพ์เขียวแห่งการเรียนรู้ที่ควรค่าแก่การบันทึกไว้